[數學] Finite Field

Finite Field 的定義

(S, +, *) 是一個 Algebraic Structure 滿足

1. S 元素個數是有限個

2. (S, +) 具有

    A. 封閉性

    B. 結合律

    C. 加法單位元素存在

    D. 所有元素皆有加法反元素

    E. 交換律

3. (S, *) 具有

    A. 封閉性

    B. 結合律

    C. 乘法單位元素存在

    D. 交換律

4. * 對 + 具有分配律

5. 所有元素除了加法單位元素以外皆有乘法反元素

舉例來說

(Z5, +, *) 是 Finite Field

1. Z5 共有五個元素 {0, 1, 2, 3, 4}

2.  (Z5, +)

    A.  封閉性

    +   0   1   2   3   4

    0   0   1   2   3   4

    1   1   2   3   4   0

    2   2   3   4   0   1

    3   3   4   0   1   2

    4   4   0   1   2   3

    B.  結合律

    for all a, b, c belong to Z5

    a + (b + c) = (a + b) + c

    先略過, 因為需要 5*25 及 25*5 的兩個表格

    C.  加法單位元素存在

    0 為加法單位元素

    for all a belong to Z5

    a + 0 = a

    0 + a = a

    D.  所有元素皆有加法反元素

    0 的加法反元素是 0

    1 的加法反元素是 4

    2 的加法反元素是 3

    3 的加法反元素是 2

    4 的加法反元素是 1

    E.  交換律

    矩陣是 symmetric 的, 所以滿足交換律

    ex: 1 + 3 = 4 = 3 + 1

3.  (Z5, *)

    A.  封閉性

    *   0   1   2   3   4

    0   0   0   0   0   0

    1   0   1   2   3   4

    2   0   2   4   1   3

    3   0   3   1   4   2

    4   0   4   3   2   1

    B.  結合律

    for all a, b, c belong to Z5

    a * (b * c) = (a * b) * c

    先略過, 因為需要 5*25 及 25*5 的兩個表格

    C.  乘法單位元素存在

    1 為乘法單位元素

    for all a belong to Z5

    a * 1 = a

    1 * a = a

    D.  交換律

    矩陣是 symmetric 的, 所以滿足交換律

    ex: 2 * 3 = 1 = 3 * 2

4. * 對 + 具有分配律

    for all a, b, c belong to Z5

    a * (b + c) = a*b + a*c

    (b + c) * a = b*a + c*a

5. 所有元素除了加法單位元素以外皆有乘法反元素

    1 的乘法反元素是 1

    2 的乘法反元素是 3

    3 的乘法反元素是 2

    4 的乘法反元素是 4