作者 arrenwu (二乃騎士) 看板 Gossiping
標題 Re: [問卦] 傅立葉轉換是怎麼想出來的？
時間 Sat Oct 19 18:31:04 2019
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※ 引述《shrinkage (Shrinkage)》之銘言：
: 昨天看了Youtube科普頻道
: 用動畫模型解釋傅立葉轉換的構想
: 傅立葉轉換簡單說
: 就是把混雜混合過的一團東西
: 一個一個抽取出來
: 抽取的方法稱傅立葉轉換
: 這方法根本是外星人才會想到吧？
: 以前沒有動畫模型
: 甚至沒有彩色印刷的年代
: 理工學生有幾個真的能懂傅立葉轉換嗎？
: 太神的一個轉換了
: 嚴重懷疑是外星產物
你直接跳到 Fourier Transform 那當然看起來像外星產物啊
而且你講的混雜過的東西一個一個抽出來已經算是應用了
這一開始是從大家對 週期函數 的興趣開始的。
上過微積分的都知道，大部分連續函數我們都可以用多項式去逼近他，
在課本上叫做 泰勒級數，而我們最熱愛多項式了 嘻嘻
但是這個估計方式去弄週期函數，一眼看下去就會覺得沒那麼好，
因為一個多項式函數在你的變數跑到無窮大或無窮小都會爆開
所以可以換一下不要用 x, x^2 ,x^3 ........ 去逼近一個有周期的函數 f(x)，
改用些有周期的項目去逼近。
那大家最熱愛的有周期的函數是什麼？ 想必就是三角函數了！
所以假如 f(x) 的週期是 T，我們先很直覺地抓兩個週期是T的三角函數：
cos(2π/T x) 和 sin(2π/T x)
好~太棒了！令 g(x) = a1* cos(2π/T x) + b1* sin(2π/T x)
a1 跟 b1 是兩個我們想要找的常數，希望讓 g(x) 跟 f(x) 看起來"長得比較像"
T
一個合理的是去算能讓 ∫ ( f(x)-g(x) )^2 dx 最小的 a1 & b1，
0
這個很容易，就只是展開然後配方，會得到大家在微積分裡面看到的結果。
T
有人可能會問：啊怎麼不去算 ∫ | f(x)-g(x) | dx ？ 絕對值也是常用距離啊！
0
因為平方比較好算啦 幹
可是呢，這個算出來的g(x)，很難跟 f(x) 長得很像。可是別灰心，
週期為 T 的三角函數還有很多：就是那些週期為 T/2, T/3, T/n, .... 的三角函數
全部抓進來，所以我們可以改看一個無窮級數:
∞
h(x) = Σ an* cos(2πn/T x) + bn* sin(2πn/T x)
n=1
T
去算讓 ∫ ( f(x)-h(x) )^2 dx 最小的 {an} 和 {bn}，
0
就會得到課本上面的公式囉！
然後呢，用Euler 的那個 e^(ix) = cos(x) + isin(x) ，把h(x)整理一下，
∞
可以寫成 h(x) = Σ Cn e^(2πn/T x)
n=-∞
T
Cn = 1/T∫ f(x)e^(-2πn/T x)dx
0
這邊我想大家就看得出，Cn的大小可以看成 相對應頻率的三小函數 在f(x) 中的分量
這之後呢，你如果把一般函數想成「週期很大很大所以看不太出週期」的函數，
也就是想像 T→∞ 的情況，就變成 Fourier Tranform 了
不過Fourier Fransform產生的核心目的也是為了解微方就是了
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「他不能睡車上嗎？」 ～中野二乃
https://i.imgur.com/s9ENvjt.jpg
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推 james732: 我討厭數學 QQ 223.138.228.190 10/19 18:31
推 Tchachavsky: PTT怎麼打數學式 140.117.196.55 10/19 18:32
推 BMotu: 嗯嗯，我完全看得懂 1.161.138.41 10/19 18:32
→ greensaru: 看成過期函數。。。 223.137.102.237 10/19 18:32
推 a82k7: 嗯嗯跟我想的一樣喔 223.137.223.210 10/19 18:32
→ ymx3xc: 恩恩 就是這樣 1.168.77.205 10/19 18:32
推 EasyVinus: 你是立葉系？ 223.140.206.37 10/19 18:32
推 freedomx20a: 這沒什麼 我阿嬤也會FT啦 1.160.213.67 10/19 18:32
推 young92748: 跟我想的差不多 42.74.129.199 10/19 18:33
推 easyfish: 學習了 1.173.98.173 10/19 18:33
推 huai21512: 推推 223.140.7.124 10/19 18:33
推 cpg811106: 我知道答案等於0 126.84.22.217 10/19 18:33
推 flysonics: 我比較佩服的是你公式打得好整齊... 42.76.246.123 10/19 18:33
推 kuromu: ... 220.142.49.186 10/19 18:34
推 COLONELLIU: 欸 多項式不是用Maclaurin嗎 111.253.32.79 10/19 18:34
Maclaurin 是個特例吧？
→ GonVolcano: 幹看完這些再看二乃，都快吐了 101.12.167.38 10/19 18:35
幹嘛 二乃很棒啊
推 paracase: 沒錯，跟我想的一樣呀.....不懂也要裝懂 115.82.133.203 10/19 18:35
推 shirokase: 每次看這公式都不覺得是數學科目，是 42.72.39.255 10/19 18:36
→ shirokase: 英文片語才對 42.72.39.255 10/19 18:36
推 chh1470: 你可以教我高微嗎？ 110.28.164.177 10/19 18:40
推 xinghh: 工數 吐了 = = 101.15.219.22 10/19 18:40
推 tacovirus: 你有女朋友嗎？初音不算 223.136.221.64 10/19 18:41
推 Riverlz: 比起傅利葉 倒覺得尤拉比較猛 223.140.249.79 10/19 18:41
這兩個人貢獻不同，不太能比啦！ 但Euler 真的是創意十足
推 snio2427: 好難 114.41.163.51 10/19 18:42
推 tai6621: 厲害給推 1.173.87.4 10/19 18:42
→ a58524andy: 你這就教傅立葉的intro講一次而已啊 140.112.244.224 10/19 18:42
推 plutox: 嗯嗯我也是這樣覺得 114.137.52.1 10/19 18:42
→ a58524andy: 也就是這樣想很好理解這玩意的insight 140.112.244.224 10/19 18:43
推 linearppt: 看的頭好痛，這種咒語難怪你們得不到 223.137.17.77 10/19 18:43
→ a58524andy: 但是他問的是一開始怎麼會有人想到 140.112.244.224 10/19 18:43
→ linearppt: 諾貝爾獎！ 223.137.17.77 10/19 18:43
→ a58524andy: 雖然這問題本來就比較難有答案 140.112.244.224 10/19 18:43
你處理的微方的解明顯有週期的時候 一定得一腳踩到這問題上啊
比如 x''(t) + 2x(t) = sin(t) 好了，這個很好解對吧？
那萬一變成 x''(t) + 2x(t) = f(t) , f的週期是T. 你要怎辦？
→ wondtty: 有數學就沒有我 1.171.240.236 10/19 18:44
推 bh0527: 下一篇是Laplace和Z轉換嗎? 1.171.5.106 10/19 18:45
推 nomorepipe: 嗯嗯跟我想的一樣 223.138.245.32 10/19 18:47
→ becareful: 跟我預估的一樣 175.97.52.58 10/19 18:47
→ starfishfish: ok,這可以 223.138.178.231 10/19 18:47
→ becareful: 下次交我三角函數吧 175.97.52.58 10/19 18:47
你如果像中野二乃我考慮一下
推 PA5566: 嗯嗯 就是這樣子 223.137.212.107 10/19 18:48
→ MagicSword: BBS打數學式，你不錯，你不錯 36.233.161.26 10/19 18:48
→ a58524andy: 這說法跟電磁發展必定導致狹相一樣 140.112.244.224 10/19 18:49
電磁學我不太熟。
但就費曼的講法，當時有很多人很快樂地進行各種實驗測試光速，
實驗結果發現光在相對速度上的表現很奇怪，大家起初以為是實驗測錯了，
但很多人都有類似的「錯誤」。那從這邊開始我覺得就一定會有狹義相對論
當然我覺得勞倫茲轉換一定是從電磁學那邊跑出來啦XD
→ a58524andy: 都是人類遇到並且需要克服的問題 140.112.244.224 10/19 18:49
→ a58524andy: 可是第一個想到的就是封神的存在 140.112.244.224 10/19 18:50
這是當然的。因為我們現在學的這些概念在當時看起來跟胡思亂想差不多。
是因為有這些偉大先人篳路藍縷去確立的知識，我們學起來才輕鬆
推 HEINOUS: F(x) 是現在唯一看得懂的東西了 101.11.52.151 10/19 18:50
→ ter2788: 一知半解的總愛凹凹大叫不願意去理解 42.74.74.36 10/19 18:53
推 garman0403: 解熱傳微方發展出來的 223.136.126.250 10/19 18:53
→ sxing6326: 是羅倫茲轉換 42.75.27.65 10/19 18:53
推 takako1014: 寫得不錯 115.82.27.46 10/19 18:53
推 lercon: 高中在教三角函數跟多項式的時候就可以看 118.166.179.40 10/19 18:55
→ lercon: 得出來 只是推導公式很難而已 118.166.179.40 10/19 18:55
→ ter2788: 事實上很多愛看科普影片的都只愛看一半 42.74.74.36 10/19 18:55
→ ter2788: 明明有很多影片講的很清楚 42.74.74.36 10/19 18:55
→ sxing6326: 符合羅倫茲轉換最完美的對稱性就是狹 42.75.27.65 10/19 18:55
→ sxing6326: 相 42.75.27.65 10/19 18:55
→ ter2788: 難怪老高影片 比起一堆講的正經八百的還 42.74.74.36 10/19 18:56
→ ter2788: 多人看 42.74.74.36 10/19 18:56
推 kkes0001: 幹，外星人 117.19.152.56 10/19 18:57
推 Grothendieck: 根據經驗，講這些介紹，下面的人根 223.138.188.11 10/19 18:57
→ Grothendieck: 本不知道在說什麼XD 223.138.188.11 10/19 18:57
推 tim9527: 先推 大家覺得我看得懂 42.76.241.224 10/19 18:57
→ a58524andy: 這篇算好懂了的吧 140.112.244.224 10/19 18:58
→ a58524andy: 除非看到積分先喊我不懂的那種 140.112.244.224 10/19 18:58
推 CactusFlower: 還我琴葉 39.10.169.146 10/19 18:58
https://i.imgur.com/kpxX6bv.png
以琴葉的智商，上高中學這些應該很輕鬆
→ Grothendieck: 從第二段開始，就有不少定理 223.138.188.11 10/19 18:58
→ Grothendieck: 不如直接進主題wwww 223.138.188.11 10/19 18:58
這邊難的是收斂那邊的數學分析 不過是科普我們就不要那麼認真了
推 scmdwyam: 推 這篇寫的真D好 114.136.141.238 10/19 19:00
→ a58524andy: 甚麼很多定理… 連討論無窮級數寫出來 140.112.244.224 10/19 19:00
→ a58524andy: 是否有意義都跳過了耶 140.112.244.224 10/19 19:01
你講的這個東西是數學分析了，但是在一開始的時候直覺比較重要。
講得更極端點，牛頓的時代沒有嚴謹的證明，人家微方一樣用得出神入化
推 dennisN: 李永樂有大概講過 但還在很淺的地方 223.137.6.250 10/19 19:01
推 mathlover: 你怎麼知道要令g(x)=a1*cos（2pi/Tx).. 114.41.107.155 10/19 19:01
→ mathlover: ..？ 114.41.107.155 10/19 19:01
推 Kylol: 學工程的應該多少都應該要有點概念 39.11.69.163 10/19 19:02
→ mathlover: 怎麼不令g(x)=a1/cos(2pi/Tx).... 114.41.107.155 10/19 19:03
你可以這樣做啊，然後就發現好難做。就跟為什麼泰勒級數會是多項式一樣
→ a58524andy: 除下去壞點超多啊 140.112.244.224 10/19 19:04
他也可以用 a1/(cos(2pix/T)+2) 啦
推 b852258: 懂 推一個 223.26.93.28 10/19 19:05
→ b852258: 大學學的時候教授也沒說清楚，只能硬背 223.26.93.28 10/19 19:06
→ xacc: 嗯嗯...這三小 114.137.45.191 10/19 19:11
推 ter2788: 其實原po已經算講的很容易懂了 42.74.74.36 10/19 19:12
推 mikemiao1492: 大概知道啦，但是頭好痛 116.59.126.142 10/19 19:14
推 COLONELLIU: 週期性的函數[0-無窮]不是可以用Lapla 111.253.32.79 10/19 19:15
→ COLONELLIU: ce嗎 111.253.32.79 10/19 19:15
Laplace Transform 我就真的不是很熟了
※ 編輯: arrenwu (71.198.27.180 美國), 10/19/2019 19:17:52
推 muserFW: 可以去看李永樂 他解釋的很清楚 123.240.148.241 10/19 19:17
推 iorittn: 推 42.77.229.205 10/19 19:21
推 p49309074: 大方向說的很好呢，一些細節再注意一點 122.121.54.49 10/19 19:23
→ p49309074: 就完美了。我懂你辣^^ 122.121.54.49 10/19 19:23
推 WindSucker: 國小有教 42.76.29.81 10/19 19:24
推 qscNERO: 我都快忘光惹 223.140.84.57 10/19 19:26
推 Hscyin: 推 110.26.30.94 10/19 19:27
推 ruokcnn: 著實淺顯易懂 223.137.129.98 10/19 19:28
推 FuwafuwaCAT: 好 49.215.197.122 10/19 19:31
推 fcuk9981: 推 101.9.22.170 10/19 19:34
→ cerberi: 推專業 42.70.234.91 10/19 19:35
推 dotZu: 專業 1.160.153.25 10/19 19:36
推 alexmusic: 快推 等等被發現看不懂 42.76.3.190 10/19 19:38
推 goldflower: 記得看過薛丁格說狹相他自己也能想到 49.158.65.65 10/19 19:39
→ goldflower: 但廣相就只有愛因斯坦可以了 49.158.65.65 10/19 19:39
→ keyman2: 我文組看不懂腫摸辦QQ 1.160.106.228 10/19 19:40
→ ezafine: 跟我想的差不多 111.71.69.125 10/19 19:41
→ a58524andy: 那是神仙打架的世界 140.112.244.224 10/19 19:43
推 ben100rk: 柯糞可能看不懂 已經在吃屎了 61.70.215.112 10/19 19:44
推 a77520601: 原來我的想法早就有人做了，給推 39.8.126.83 10/19 19:46
推 leocean9816: 菸糞都直接作弊不用看懂 123.195.193.215 10/19 19:49
→ mstar: ！ 全然分！ 27.105.33.197 10/19 19:49
推 Raynor: 不明覺厲 36.233.88.41 10/19 19:50
推 bizer: 線性代數的角度去解釋Fourier轉換比較直觀 111.248.27.253 10/19 19:55
→ bizer: ，不就是連續函數正交投影的概念而已，搞這 111.248.27.253 10/19 19:55
→ bizer: 麼多數學運算有點無趣 111.248.27.253 10/19 19:55
推 LEDG: 樓上，講廢話，應用還是要回到數學 111.82.80.93 10/19 19:56
→ LEDG: 知道概念，跟做數學分析，是兩回事 111.82.80.93 10/19 19:57
→ LEDG: 而且傅利葉是根基，很多轉換都是它的延伸 111.82.80.93 10/19 19:58
推 kazenoryu: 還給學校了 223.136.101.139 10/19 19:58
推 greeneen: 專業 101.14.130.50 10/19 19:59
推 discoveryray: 跟我想要說的一樣 1.161.160.242 10/19 20:02
推 ccs9631: 這篇我只看得懂二乃 = = 223.137.104.155 10/19 20:07
推 bizer: 這篇是講應用嗎?用數學解釋概念或物理現象 111.248.27.253 10/19 20:08
→ bizer: 很容易? 111.248.27.253 10/19 20:08
→ bizer: 而且這個轉換應用不只解微分方程而已，信號 111.248.27.253 10/19 20:13
→ bizer: 傳輸，影像資料壓縮一大堆可利用 111.248.27.253 10/19 20:13
→ bizer: 別用俠義觀點討論偉大發現 111.248.27.253 10/19 20:14
推 superex: 推 36.228.224.205 10/19 20:14
→ mynewid: 跳太快 36.224.98.195 10/19 20:16
推 LEDG: 可見你不懂 111.82.80.93 10/19 20:16
推 modulation: 推 110.26.75.74 10/19 20:16
推 NikonFE2: 不會就是不會 112.105.219.213 10/19 20:20
推 bravo233295: 因為定理就是巧思與方便 像為什麼最 36.235.46.27 10/19 20:23
推 matuser: 略過函式還是很不錯的思維過程 推 175.180.166.182 10/19 20:24
→ bravo233295: 小平方法就是比直接加絕對值好的多 36.235.46.27 10/19 20:24
推 sunstrider: 你這篇打了幾個小時@@ 114.38.17.232 10/19 20:27
推 murray5566: 這篇講的很好 不懂得多看這篇 60.250.202.127 10/19 20:34
推 poiuyyulj02: 可不可以講一下 Laplace 101.9.145.109 10/19 20:38
推 rayxg: 共啥小可以講中文嗎QQQQQQQQ 1.165.14.64 10/19 20:38
推 wiydluck: 科技術都點到FFP、LT了 還在FT 114.43.163.1 10/19 20:38
→ wiydluck: FFT才對._. 114.43.163.1 10/19 20:38
推 nietsche: 我也只看得懂二乃 37.219.237.137 10/19 20:39
推 mdkn35: 還好有def fft() 36.232.130.83 10/19 20:39
推 o760823: 推 114.40.3.98 10/19 20:42
推 leon4287: 只看的懂二乃 42.76.201.123 10/19 20:42
→ sicao: 我連二乃都看不懂... 223.140.229.75 10/19 20:54
推 DIDIMIN: 絕對值是在搞分位數估計 114.27.195.139 10/19 20:56
→ DIDIMIN: 平方誤差是在估計平均數，不一樣的概念 114.27.195.139 10/19 20:57
→ MinJun5566: 嗯嗯 我也是這樣想... 111.246.82.28 10/19 20:58
推 uilmas1: 嗯嗯 解釋得淺顯易懂XD 101.9.71.33 10/19 21:11
推 Orz9106: 嗯嗯差不多就是這樣 49.217.160.193 10/19 21:23
推 t19960804: 跟我想的差不多 39.11.72.39 10/19 21:28
推 CrazyBug: 解釋不錯 114.37.138.104 10/19 21:32
推 breadking: 推 微方跟訊號系統 學過就知道 36.226.189.16 10/19 21:35
推 s4552752: 文組看不懂 還是推 114.32.148.34 10/19 21:38
推 rcak801: 說的沒錯啊 直接看FT的效果會覺得怎麼那 220.134.69.13 10/19 21:45
→ rcak801: 麼神 但其實是先在拆解三角函數 220.134.69.13 10/19 21:46
推 HSNUBJ: 跟我想的差不多 36.236.119.11 10/19 21:46
→ rcak801: 導出來之後才跟實際訊號處理去對上的 220.134.69.13 10/19 21:46
推 tonyadsl: 棒 111.248.73.175 10/19 22:10
推 TassTW: 大大好帥 162.242.92.186 10/19 22:10
推 Acce0912: 嗯嗯跟我想的差不多 39.12.71.178 10/19 22:18
推 tengentoppa: 嗯嗯，跟我想的一樣 101.136.195.170 10/19 22:39
推 polay: 簡而易懂 131.129.110.167 10/19 22:44
推 Peter521: 嗯嗯，有道理欸 1.200.202.89 10/19 22:49
→ waitu0526: 供三小辣微積分嗚嗚嗚嗚 42.77.67.52 10/19 23:07
推 ThisIsEasy: 先推 以免大家笑我看不懂 114.136.98.234 10/19 23:13
推 becseger: 推推~~~ 128.210.107.88 10/19 23:31
推 TR104: 趕快先推 以免以為我看不懂 175.96.64.91 10/19 23:54
推 OldYellowDog: 淺顯易懂 好文推 36.239.116.4 10/20 00:20
推 nkuoasf: 真的厲害，把之前忘記的都找回來了 180.217.236.122 10/20 00:31
推 mryf: 不要再白痴說什麼工數啦 幹 工數只是集合工 36.226.35.225 10/20 00:36
→ mryf: 程相關會用到的數學 這是分析吧 36.226.35.225 10/20 00:36
推 cccc1730: 你他媽是怎麼打出公式的…太屌了吧！ 118.150.55.69 10/20 00:38
推 KNVSEOC: 馬的 我頭好痛 49.216.49.209 10/20 00:44
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